sábado, 14 de abril de 2018

Questão de Teoria dos Números


a) Mostre que o produto de dois números da forma $a^2+3b^2$, com $a$ e $b$ inteiros, também é desta forma.
b) Se um inteiro $n$ é tal que $7n$ é da forma $a^2+3b^2$, com $a$ e $b$ inteiros, prove que $n$ também é desta forma.

Postado por às

Um comentário:

  1. Prof Leandro Farias18 de abril de 2018 às 17:21

    a) Solução: Dois números da forma acima:
    (a2+3b2)(c2+3d2) = (a2c2+9b2d2)+3(a2d2+b2c2) = (ac-3bd)^{2} + 3(ad-bc)^{2}

    b) Se a^{2}+3b^{2}=7n, analisando módulo 7 temos a^{2}=-3b^{2}=4b^{2} mod 7 o que implica a=2b ou a=-2b módulo 7.

    caso 1. Se a=2b módulo 7. Tome
    c = (2a+3b)/7 e d = (a-2b)/7 então c^{2}+3d^{2}=n

    caso 2. Se a=-2b módulo 7. Tome
    c = (2a-3b)/7 e d=(a+2b)/7 então c^{3}+3d^{3}=n

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