Seja $G$ o baricentro do triângulo $ABC$ e sejam $AM$, $BN$ e $CK$ as bissetrizes internas com $M$ em $BC$, $N$ em $AC$ e $K$ em $AB$. Prove que uma das alturas do triângulo $ABC$ é igual a soma das outras duas se, e somente se, $G$ pertence a um lado do triângulo $MNK$.
Solução: Por Menalaus no triângulo ABC (P,M e N colineares: P é interseção do prolongamento de MN com BC)
ResponderExcluirPB = ac/(b-c)
Seja Ma o ponto médio de BC. Menelaus no triângulo ABMa (P,N,G colineares: G pertence a MN). Temos que
a = bc/(a+c) ou seja 1/a = 1/b + 1/c
Sendo h1, h2 e h3 as as alturas relativas aos lados a, b e c, respectivamente e S a área do triângulo ABC, então
ah1=bh2=ch3=2S.
Substituindo na equação acima,
h2+h3=h1
A volta fica fácil pois as equações são verificados e por menelaus os pontos são colineares.