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quinta-feira, 12 de abril de 2018

Questão de Geometria

Seja G o baricentro do triângulo ABC e sejam AM, BN e CK as bissetrizes internas com M em BC, N em AC e K em AB. Prove que uma das alturas do triângulo ABC é igual a soma das outras duas se, e somente se, G pertence a um lado do triângulo MNK.

Um comentário:

  1. Solução: Por Menalaus no triângulo ABC (P,M e N colineares: P é interseção do prolongamento de MN com BC)
    PB = ac/(b-c)

    Seja Ma o ponto médio de BC. Menelaus no triângulo ABMa (P,N,G colineares: G pertence a MN). Temos que
    a = bc/(a+c) ou seja 1/a = 1/b + 1/c

    Sendo h1, h2 e h3 as as alturas relativas aos lados a, b e c, respectivamente e S a área do triângulo ABC, então
    ah1=bh2=ch3=2S.
    Substituindo na equação acima,
    h2+h3=h1

    A volta fica fácil pois as equações são verificados e por menelaus os pontos são colineares.

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